\(\newcommand{\div}{\operatorname{div}}\) \(\newcommand{\Im}{\operatorname{Im}}\) \(\newcommand{\qx}{\boldsymbol{\hat{x}}}\) \(\newcommand{\qp}{\boldsymbol{\hat{p}}}\) \(\newcommand{\qxm}{\boldsymbol{\hat{x}'}}\) \(\newcommand{\qpm}{\boldsymbol{\hat{p}'}}\) \(\newcommand{\qd}{\tilde{d}}\) \(\newcommand{\qc}{\tilde{\triangle}}\)

Что такое квантовая инфодинамика?

Квантовая инфодинамика это теория движения материи-энергии-информации в пространстве с учётом реальности последнего, т.е. реакции пространства на движение. С примитивной материалистической точки зрения, пространство есть "ничто", оно существует только по отношению к чему-то положительному и материальному. Такая концепция пространства ошибочна. Пространство реально и оно содержит и обуславливает движение. Оно даже движется само: "дыхание" пространства в космологических масштабах является примером такого движения, называемого первичным. Ошибочные представления современных физиков происходят именно от отсутствия понимания реальности пространства. Человеческий разум жёстко привязан к пространству, но, тем не менее, наш разум является единственным инструментом, позволяющим превзойти пространсто, хотя и частично. Конечность статуса смертных не должна являться преградой для исследований истинной структуры и динамических свойств пространства, ибо пространство само — по крайней мере, для всех созданных существ — является относительно конечным.

Чтобы понять квантовую инфодинамику, нужно рассмотреть следующие три уровня описания движения:

  1. Гамильтонова динамика. На этом уровне движение частиц описывается обыкновенными дифференциальными уравниениями. Начальным состоянием является совокупность координат и скоростей (или импульсов) и задачей динамики является найти эволюцию во времени этого состояния.
  2. Классическая инфодинамика. Начальные координаты и импульсы никогда не могут быть заданы с бесконечной точностью и, следовательно, их зависимость от времени также является не вполне определённой. С практической стороны, мы всегда можем задать какое-то распределение вероятностей \(f_0(x,p)\) начальных значений координат и импульсов и искать значение соответствующего распределения \(f(x,p,t)\) в последующий (или предыдуший) момент времени \(t\). Это есть уровень классической инфодинамики и слово "классическая" в данном контексте означает "не-квантовая", что, в свою очередь, означает "не принимая во внимание реальность пространства" (см. ниже). Задание формы потенциальной энергии \(U(x)\) как функции координаты (в 1-мерном случае) и формы кинетической энергии \(T(p)\) как функции импульса, полностью определяет специфику системы. Временная эволюция определяется экспоненциальным пропагатором, содержащим частные производные этих двух величин: \(\partial U\over\partial x\) и \(\partial T\over\partial p\).
  3. Квантовая инфодинамика. На классическом уровне нет никакой причины, принципиально ограничивающей возможность одновременного указания и координат и импульса с любой наперёд заданной точностью. Однако, опытные данные (не говоря уже о прямом утверждении в Урантийских Документах, 65:6.1) указывают на то, что это предположение не соответствует реальности и, следовательно, классическая инфодинамика нуждается в уточнении. Одна из возможных модификаций и выводит нас на уровень квантовой инфодинамики. Здесь, в отличие от классического уровня, задание \(U(x)\) и \(T(p)\) как вещественно-значных функций вещественного переменного недостаточно, несмотря на то, что формально это кажется возможным, глядя на соответствующие уравнения динамики. Фактически же, оказывается необходимым провести аналитическое расширение обеих функций в комплексную плоскость \(\mathbb{C}\) и, далее, рассматривать квантовые дифференциалы (определены ниже) комплексно-значных функций \(U(z_x)\) and \(T(z_p)\). Ниже мы детально разберём что всё это значит.

Гамильтонова динамика

В теоретической (в отличие от школьной) физике второй закон Ньютона удобнее формулировать в виде лагранжева или гамильтонова формализма. В лагранжевом формализме состояние системы описывается набором обобщённых координат \(q_i\) и обобщённых скоростей \(\dot{q_i}\). Особенности рассматриваемой системы заключены в форме функции Лагранжа \(L(q,\dot{q},t)\), а уравнения движения получаются из экстремалей функционала действия \(S[q(t)]\): $$ \begin{align} & S[q(t)] = \int\limits_{t_1}^{t_2}L(q,\dot{q},t)\,dt \\ & \delta S[q(t)] = 0 \Rightarrow {\partial L\over\partial q_i} = {d\over dt}{\partial L\over\partial\dot{q_i}}, (i=1\dots s) \end{align} $$

Для системы с \(s\) степенями свободы, эти уравнения образуют систему \(s\) обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Задача Коши становится корректной при указании начального значения всех координат и скоростей и поиском их эволюции во времени: $$ \begin{equation} (q(0),\dot{q}(0)) \mapsto (q(t),\dot{q}(t)) \end{equation} $$

В гамильтоновом подходе состояние системы описывается обобщёнными координатами \(q_i\) и импульсами \(p_i\), а особенности системы заключаются в конкретной форме функции Гамильтона \(H(q,p,t)\), связанной с \(L(q,\dot{q},t)\) преобразованием Лежандра следующим образом: $$ \begin{align} & p_i \equiv {\partial L\over\partial\dot{q_i}}\\ & H(q,p,t) = \sum\limits_{i=1}^{s}p_i\dot{q_i} - L \end{align} $$

а уравнения движения имеют вид: $$ \begin{align} & \dot x^i = {\partial H\over\partial p_i} \equiv \{x^i,H\}\label{dotxi}\\ & \dot p_i = -{\partial H\over\partial x^i} \equiv \{p_i,H\}\label{dotpi}\\ & \{A,B\} = A(x,p)(\overset{\leftarrow}{\partial_x}\overset{\rightarrow}{\partial_p} - \overset{\leftarrow}{\partial_p}\overset{\rightarrow}{\partial_x})B(x,p) \end{align} $$

где мы определили (обычным образом) скобку Пуассона \(\{A,B\}\) на парах гладких функций на фазовом пространстве.

Фазовый поток индуцированный временной эволюцией начального положения и импульса \((q(0),p(0))\) генерирует однопараметрическую полугруппу \({g^t}\) локальных диффеоморфизмов: $$ \begin{equation} g^t(q(0),p(0)) = (q(t),p(t)) \end{equation} $$

а в случае автономной системы \(\partial_t H\equiv 0\) эта полугруппа наделяется полной групповой структурой.

Геометрически, разница между лагранжевым и гамильтоновым формализмами такая же, как между касательным \(T\mathcal{M}\) и кокасательным расслоением \(T^*\mathcal{M}\) над базовым конфигурационным многообразием \(\mathcal{M}\).

Классическая инфодинамика

Основные принципы

Если отказаться от локализации информации о состоянии системы в конечном наборе чисел \(\{q_i(t),p_i(t)\}\) и заменить его вещественно-значной (и в должной мере гладкой) функцией распределния \(f(x,p,t)\), то уравнения динамики должны будут надлежащим образом изменены.

Придадим функции \(f(x,p,t)\) следующий физический смысл: предположим, что фазовое пространство \(\mathcal{P}\) наделено мерой интегрирования \(dx\,dp\); тогда выражение \(f(x,p,t)\,dx\,dp\) имеет смысл вероятности обнаружения частицы в инфинитеземальной (бесконечно малой) окрестности точки \((q,p)\) с объёмом \(dx\,dp\). Для конечной же области \(G\subseteq\mathcal{P}\) вероятность \(P_G(t)\) обнаружения частицы в "движущейся области" \(g^t(G)\) в момент времени \(t\) будет выражаться следующим интегралом: $$ \begin{equation} P_G(t) = \int\limits_{g^t(G)} f(x,p,t)\,dx\,dp \end{equation} $$

Для получения уравнения динамики для информационного поля \(f(x,p,t)\) (которое на данном уровне имеет простой смысл положительно-определённой функции распределения или вероятностной меры) мы можем потребовать выполнения следующего естественного закона сохранения: $$ \begin{equation} P_G(t) = const \label{Pconst} \end{equation} $$ Это условие попросту означает, что если частица находилась в начальный момент (\(t=0\)) где-либо внутри области \(G\), то в любой последующий момент времени \(t\) она может оказаться только в "движущейся области" \(g^t(G)\) (т.е. в фазовом образе \(G\)). Частицы не исчезают и не возникают ниоткуда. Это условие чисто классическое и нам придётся его отбросить в квантовом режиме.

Далее, мы можем воспользоваться известной транспортной теоремой (или "теоремой Лиувилля"), которую мы приводим здесь в самом общем случае неавтономной динамической системы: $$ \begin{align} & \dot{x}^i = F^i(x,t),\\ & x^i(0) = y^i, g^t(y) = x(t;y),\\ & {d\over dt}\int\limits_{g^t(G)} f(x,t)\,d^nx = \int\limits_{g^t(G)}\left\{{\partial f\over\partial t} + \sum\limits_{i=1}^n {\partial\over\partial x^i}(F^i f)\right\}\label{transport} \end{align} $$ Заметим сходство правой части (\ref{transport}) с уравнением непрерывности из гидродинамики: \(\partial_t\rho + \div(\rho\mathbf{v}) = 0\). Это не случайно и отражает важный факт: информация "течёт" в фазовом пространстве подобно обыкновенной жидкости, с той лишь разницей, что роль поля скоростей играет фазовый поток. Как мы увидим в дальнейшем, это верно только в классическом режиме, т.е. при отсутствии учёта реальности пространства.

Для гамильтоновой системы сумма в выражении выше превращается в скобку Пуасона \(\{f,H\}\): $$ {d\over dt}\int\limits_{g^t(G)} f(x,p,t)\,dx\,dp = \int\limits_{g^t(G)}\left\{{\partial f\over\partial t} - \{H,f\}\right\} $$ Таким образом, условие (\ref{Pconst}) эквивалентно следующему уравнению в частных производных первого порядка для информационного поля: $$ \begin{equation} \partial_t f = \{H,f\} \end{equation} $$ Исходные уравнения движения являются характеристиками для данного уравнения.

Можно суммировать описанное выше следующим образом. Система состоит из информационного поля, текущего в фазовом пространстве подобно жидкости, и частиц, движущихся вдоль характеристик этого поля. Уравнения динамики этой совокупности настолько важны, что мы приводим их ещё раз все вместе: $$ \begin{align} \dot x & = \{x,H\}\label{dotx}\\ \dot p & = \{p,H\}\label{dotp}\\ \partial_t f & = \{H,f\}\label{dotf} \end{align} $$ Отсюда видно, что уравнения движения частиц и информации о частицах, записанные с помощью скобок Пуассона, очень похожи.

Формальное решение \(f(x,p,t)\) задачи Коши для (\ref{dotf}) даётся следующей экспонентой от дифференциальных операторов: $$ \begin{equation} f(x,p,t) = \exp\left\{t({\partial H\over\partial p}{\partial\over\partial x} - {\partial H\over\partial x}{\partial\over\partial p})\right\}f_0(x,p) \end{equation} $$

Для того, чтобы это формальное решение превратить в форму, удобную для численных вычислений, можно воспользоваться формулой Бейкера-Кемпбелла-Хаусдорфа: $$ \begin{equation} f(x,p,t+\Delta t) \approx \exp\left\{t{\partial H\over\partial p}{\partial\over\partial x}\right\} \exp\left\{-t{\partial H\over\partial x}{\partial\over\partial p}\right\}f(x,p,t) \end{equation} $$ А здесь мы можем непосредственно применить метод спектрально-расщепляющего пропагатора, т.е. "прыгая" от пространства функций от \(x-p\) в пространство фурье-образов по \(p\) и затем по \(x\) мы можем избавиться от дифференциальных операторов и решить задачу Коши. В классическом случае имеются и другие методы решения этого уравнения, но в квантовом случае метод спектрально-расщепляющего пропагатора является практически единственным стабильным алгоритмом и я использовал его во всех своих компьютерных симуляциях.

Можно определить понятие энтропии \(S_G(t)\), связанной с данным информационным полем \(f(x,p,t)\): $$ \begin{equation} S_G(t) = - \int\limits_{g^t(G)} f(x,p,t)\ln f(x,p,t)\,dx\,dp = const \end{equation} $$ Эта величина хорошо определена, ибо если информационное поле неотрицательно в начальный момент времени, то оно останется таковым всегда: $$ \begin{equation} f_0(x,p)\geqslant 0 \Rightarrow f(x,p,t) \geqslant 0 \end{equation} $$

Это непосредственно следует из того, что информационное поле постоянно вдоль характеристик: $$ \begin{equation} {df(x(t),p(t),t)\over dt} = {\partial f \over\partial t} + \{f,H\} = 0 \end{equation} $$

Заметим, что в классическом режиме энтропия принимает вещественные значения. Это уже не так в квантовом режиме, где энтропия становится комплексно-значной и мнимая часть её, по-видимому, соответствует понятию "негэнтропии" или "синтропии", т.е. её рост связан с появлением порядка и, возможно, описывает возникновение само-организации. Этот эффект ясно виден в одной из моих симуляций.

Гармонический осциллятор

В качестве иллюстрации, рассмотрим случай гармонического осциллятора, т.е. системы с функцией Гамильтона \(H(x,p)\), являющейся полиномом по координате \(x\) и импульсу \(p\): $$ \begin{equation} H(x,p) = {p^2\over2m} + {m\omega^2 x^2\over2} \end{equation} $$

Характеристическая система (\ref{dotx}-\ref{dotp}) имеет форму: $$ \begin{align} & \dot x = {p\over m}\label{harmdotx}\\ & \dot p = -m\omega^2 x\label{harmdotp}\\ & x(0) = x_0\\ & p(0) = p_0\\ \end{align} $$

Общее решение (\ref{harmdotx}-\ref{harmdotp}) в форме Коши хорошо известно: $$ \begin{align} x(t) & = x_0\cos{\omega t} + {p_0\over m\omega}\sin{\omega t}\label{harmxsol}\\ p(t) & = p_0\cos{\omega t} - {m\omega x_0}\sin{\omega t}\label{harmpsol}\\ \end{align} $$

Найдя из уравнений (\ref{harmxsol}-\ref{harmpsol}) \(x_0,p_0\) мы можем использовать метод характеристик для получения временной эволюции классического информационного поля \(f(x,p,t)\): $$ \begin{equation} f(x,p,t) = f_0(x_0(x,p,t),p_0(x,p,t)) = f_0(x\cos{\omega t} - {p\over m\omega}\sin{\omega t}, p\cos{\omega t} + {m\omega x}\sin{\omega t})\label{harmfsol} \end{equation} $$

Форма решения (\ref{harmfsol}) показывает, что носитель начального распределения \(f_0(x,p)\) вращается в \(x-p\) плоскости с циклической частотой \(\omega\). К такому заключению можно было придти заметив, что векторное поле \(p\partial_x - x\partial_p\), генерирующее фазовый поток, может быть приведено к форме \(\partial_{\varphi}\), а это есть хорошо известный генератор вращений.

Зададим начальное распределение в форме нормализованной гауссовой функции с центром в произвольной точке \((x_0,p_0)\in\mathbb{R}^2\): $$ \begin{equation} f_0(x,p) = {1\over {2\pi\sigma_x\sigma_p}} \exp\left\{ -{(x-x_0)^2\over{2\sigma_x^2}} - {(p-p_0)^2\over{2\sigma_p^2}} \right\}\label{harmGaussf} \end{equation} $$

Подсчитаем энергию \(E\) в состоянии \(f_0\): $$ \begin{equation} E = \int H(x,p)f_0(x,p)\,dx\,dp = {p_0^2\over2m} + {m\omega^2 x_0^2\over2} + {\sigma_p^2\over2m} + {m\omega^2\sigma_x^2\over2}\label{harmE} \end{equation} $$

Как видим из (\ref{harmE}), энергия состоит из двух элементов: чисто механической энергии центра волнового пакета и вклад от информации о координате и импулье (точнее, от её недостатка), имеющей форму квазичастицы с импульсом \(\sigma_p\) и координатой \(\sigma_x\).

Рассмотрим теперь распределение Больцмана, т.е. состояние максимальной энтропии, при заданной энергии и нормировке распределению на единицу: $$ \begin{equation} f_B(x,p) = {1\over Z(\beta)}\exp(-\beta H(x,p))\label{harmBoltzf} \end{equation} $$

Если сравнить функции (\ref{harmGaussf}) и (\ref{harmBoltzf}), нетрудно заметить, что они совпадают при следующих условиях: $$ \begin{align} & x_0 = 0, p_0=0\\ & \sigma_x = {1\over{\omega\sqrt{m\beta}}}, \sigma_p = \sqrt{m\over\beta}\label{harmsigmaxp} \end{align} $$

Из формулы (\ref{harmsigmaxp}) мы получаем классический аналог принципа неопределённости Гейзенберга: $$ \begin{equation} \sigma_x\sigma_p = {1\over{\beta\omega}} \end{equation} $$

Квантовая инфодинамика

Операция квантования

Операция квантования является в определённом смысле "магической", т.е. не-определимой или не сводимой к более элементарным понятиям. Многие авторы пытаются "замаскировать" этот факт разными способами, но внимательно следуя их логическим рассуждениям, мы непременно встречаемся с предположением или "постулатом", который и является пере-фразировкой той "магической" процедуры, которую пытаются скрыть. Например, я встречал даже такое вздорное утверждение как "можно вывести уравнение Шрёдингера", но в итоге весь "фокус" сводился к тому, чтобы подставить операторы \(\hat{E} = i\hbar{\partial\over\partial t}\) и \(\hat{P} = -i\hbar{\partial\over\partial x}\) в классическое выражение для энергии \(E = {P^2\over 2m} + U(x)\). Мы постараемся не опускаться до уровня подобного надувательства и честно признаем, что конкретная форма процедуры квантования, по-видимому, является прямым действием Трансцендентных Зодчих Мироздания и имеет райскую природу, т.е. не может быть удовлетворительно объяснена на нашем, конечном уровне реальности.

Для наших целей будет удобным сформулировать процедуру квантования (т.е. "активации" реальности пространства) следующим компактным образом: $$ \begin{align} & [A,B] \equiv {1\over i\hbar}(A\star B - B\star A)\label{quantumbrackets}\\ & \star \equiv \exp\left\{{i\hbar\over2}(\overset{\leftarrow}{\partial_x}\overset{\rightarrow}{\partial_p} - \overset{\leftarrow}{\partial_p}\overset{\rightarrow}{\partial_x})\right\}\\ & \{A,B\} \mapsto [A,B], \label{quantisation} \end{align} $$

т.е. классические скобки Пуассона \(\{A,B\}\) заменяются квантовыми \([A,B]\), согласно определению (\ref{quantumbrackets}). Это наш основной постулат и он не может быть сведён к более фундаментальной или элементарной форме (хотя и имеет множество эквивалентных формулировок).

В классическом пределе \(\hbar\rightarrow 0\) квантовые скобки совпадают с классическими скобками Пуассона: $$ \begin{equation} \lim_{\hbar\rightarrow 0}[A,B] = \{A,B\}\\ \end{equation} $$

Фундаментальные уравнения

Теперь мы готовы переписать фундаментальную систему уравнений классической инфодинамики в терминах квантовых скобок и, тем самым, получить фундаментальную систему уравнений квантовой инфодинамики: $$ \begin{align} \dot x & = [x,H]\label{qdotx}\\ \dot p & = [p,H]\label{qdotp}\\ \partial_t\rho & = [H,\rho]\label{qdotrho} \end{align} $$

где мы обозначили квантовое информационное поле через \(\rho(t)\), предвидя тот факт, что оно совпадает с известной из ортодоксальной квантовой механики матрицей плотности.

Здесь следует отметить следущий интересный факт: квантовые скобки координаты \(x\) и импульса \(p\) с функцией Гамильтона \(H(x,p,t)\) совпадают с классическими: $$ \begin{align} & \{x,H\} \equiv [x,H]\\ & \{p,H\} \equiv [p,H] \end{align} $$

Это означает, что первые два из уравнений квантовой инфодинамики совпадают с классическими, т.е. характеристики классического информационного поля остаются неизменными при процедуре квантования. Можно сказать иначе, более явно подчёркивая разницу между нашей и общепринятой интерпретацией квантовой механики: квантовые частицы двигаются по классическим траекториям, но информационное поле связанное с ними меняется согласно закону (\ref{qdotrho}), значительно более сложному, чем классический закон (\ref{dotf}). Однако, когда положение и импульс частицы подвергаются измерению, мы фактически взаимодействуем с информацией о частице, а не с самой частицей, т.е. последняя становится как бы абстрактной и неосязаемой сущностью на квантовом уровне и представляет собой некий каркас для информационного поля, формируемого внутри и вовне частицы, согласно реальности пространства содержащего и содержащегося в ней.

Таким образом, мы приходим к согласию между двумя, казалось бы, несовместимыми утверждениями Урантийских Документов (65:6.1 и 42:5.14): одно, подтверждающее принцип неопределённости Гейзенберга и второе, утверждающее, что все частицы движутся по вполне определённым траекториям.

Матрица плотности и 4-операторная алгебра \((\hat{x},\hat{p},\hat{\theta},\hat{\lambda})\)

А теперь давайте запишем уравнение (\ref{qdotrho}) в форме, связывающей его с матрицей плотности известной из ортодоксальной квантовой механики. Для этого нам поможет симметрия между конфигурационным и импульсным пространствами. Мы используем те же обозначения, что и в очень важной статье Кабрера, Бондарь и др. (см. "Efficient Method to generate time evolution of the Wigner function for open quantum systems", Nov 2015). Оказывается, что можно разложить квантовые операторы координаты и импульса в линейную комбинацию операторов соответствующих классических величин (т.е. одновременно измеримых) и квантовых коррекций к ним, следующим образом: $$ \begin{align} & \qx = \hat{x} - {\hbar\over 2}\hat{\theta}\label{Xdef}\\ & \qp = \hat{p} + {\hbar\over 2}\hat{\lambda}\label{Pdef}\\ & [\qx,\qp] = i\hbar\label{XPcomm} \end{align} $$

Чтобы удовлетворить основному коммутационному соотношению (\ref{XPcomm}) мы накладываем следующие 6 коммутационных соотношений на 4 оператора \(\hat{x},\hat{p},\hat{\lambda},\hat{\theta}\): $$ \begin{align} & [\hat{x},\hat{\lambda}] = i\label{xpcomm1}\\ & [\hat{p},\hat{\theta}] = i\\ & [\hat{x},\hat{p}] = 0\\ & [\hat{x},\hat{\theta}] = 0\\ & [\hat{\lambda},\hat{\theta}] = 0\\ & [\hat{p},\hat{\lambda}] = 0\label{xpcomm2}\\ \end{align} $$

Отсюда видно, что смысл операторов классической координаты \(\hat{x}\) и классического импульса \(\hat{p}\) в том, что они соответствуют одновременно измеримым (на квантовом языке: коммутирующим) значениям физических координаты и импульса.

Далее, нам также нужна зеркальная алгебра операторов \(\qxm\) и \(\qpm\): $$ \begin{align} & \qxm = \hat{x} + {\hbar\over 2}\hat{\theta}\\ & \qpm = \hat{p} - {\hbar\over 2}\hat{\lambda}\\ & [\qxm,\qpm] = -i\hbar\label{XP1comm} \end{align} $$

Нетрудно проверить, что условие (\ref{XP1comm}) автоматически выполняется благодаря (\ref{xpcomm1}-\ref{xpcomm2}).

Теперь мы готовы записать уравнение для матрицы плотности \(\rho(t)\)в самой общей форме: $$ \begin{equation} i\hbar{\partial\rho\over\partial t} = \{H(\qx,\qp) - H(\qxm,\qpm)\}\rho = \{H(\hat{x} - {\hbar\over 2}\hat{\theta},\hat{p} + {\hbar\over 2}\hat{\lambda}) - H(\hat{x} + {\hbar\over 2}\hat{\theta},\hat{p} - {\hbar\over 2}\hat{\lambda})\}\rho\label{densmat} \end{equation} $$

Формально решение уравнения (\ref{densmat}) может быть записано не фиксируя конкретное представление четырёх операторов \((\hat{x},\hat{p},\hat{\theta},\hat{\lambda})\): $$ \begin{equation} \rho(t) = \exp\left\{-{it\over\hbar}\left( H(\hat{x} - {\hbar\over 2}\hat{\theta},\hat{p} + {\hbar\over 2}\hat{\lambda}) - H(\hat{x} + {\hbar\over 2}\hat{\theta},\hat{p} - {\hbar\over 2}\hat{\lambda} \right)\right\}\rho(0) \label{rhosol} \end{equation} $$

\(x-p\) представление: функция Вигнера \(W(x,p,t)\)

Располагая четырьмя операторами \(\hat{x},\hat{p},\hat{\lambda},\hat{\theta}\) мы имеем свободу в выборе представления в котором любые два из них сводятся к обыкновенному умножению на числу и другие два к операции дифференцирования (это вполне аналогично ситуации в обычной квантовой механике, где есть свобода выбора \(X\) или \(P\) представления).

Например, мы можем выбрать в качестве операторов умножения на число \(\hat{x}\) и \(\hat{p}\): $$ \begin{align} & \hat{x} = x\label{xprepx}\\ & \hat{p} = p\label{xprepp}\\ & \hat{\theta} = -i\partial_p\label{xpreptheta}\\ & \hat{\lambda} = -i\partial_x\label{xpreplambda}\\ \end{align} $$

Тогда, уравнение для матрицы плотности (\ref{densmat}) принимает форму: $$ \begin{equation} i\hbar{\partial W\over\partial t} = \left\{H(x + {i\hbar\over 2}\partial_p, p - {i\hbar\over 2}\partial_x) - H(x - {i\hbar\over 2}\partial_p, p + {i\hbar\over 2}\partial_x)\right\}W(x,p,t), \label{WignerEq} \end{equation} $$

в которой мы немедленно узнаём уравнение Мояля для функции Вигнера \(W(x,p,t)\).

Представление Олаво: \(F(x,p,t)=\Psi^*(x,p,t)\Psi(x,p,t)\)

В цикле статей Л.С.Ф. Олаво под названием "Квантовая механика как классическая теория" было показано, как можно построить положительно-определённую функцию распределения на фазовом пространстве. Причём сделать это не произвольным образом, а так, чтобы величина энергии, подсчитанная с помощью этой функции совпадала с величиной, подсчитанной обычным образом; по крайней мере в нерялитивстском случае это строго доказано в работе XVI серии.

Рассмотрим чему это соответствует в нашем формализме. Для этого, начнём с уравнения Шрёдингера, а не с уравнения для матрицы плотности, но запишем его в терминах операторов \(\qx\) и \(\qp\): $$ \begin{equation} i\hbar{\partial\Psi\over\partial t} = H(\qx,\qp)\Psi \end{equation} $$

Теперь заменим операторы \(\qx,\qp\) согласно их определению (\ref{Xdef}-\ref{Pdef}) в рассматриваемом представлении (\ref{xprepx}-\ref{xpreplambda}): $$ \begin{equation} i\hbar{\partial\Psi(x,p,t)\over\partial t} = H(x+{i\hbar\over 2}\partial_p, p-{i\hbar\over 2}\partial_x)\Psi(x,p,t) \end{equation} $$

Теперь нетрудно составить функцию, которая является очевидно положительно-определённой и, следовательно, может быть интерпретирована как плотность вероятностной меры, т.е. функция распределния: $$ \begin{equation} F(x,p,t) = \Psi^*(x,p,t)\Psi(x,p,t) \end{equation} $$

Более того, эта функция имеет важное свойство, доказанное в Олаво, 2003), что энергия, подсчитанная с помощью \(F(x,p,t)\) совпадает со значением, вычисленным на основе изначальной амплитуде вероятности (\psi(x,t)\), удовлетворяющей обычному уравнению Шрёдингера: $$ \begin{equation} \bar{E} = \int\left({p^2\over{2m}} + U(x)\right)F(x,p,t)\,dx\,dp = \int\psi^*(x,t)\left(-{\hbar^2\over{2m}}{\partial^2\over\partial x^2} + U(x)\right)\psi(x,t)\,dx \end{equation} $$

Исследуем вопрос о том, является ли функция Олаво \(F(x,p,t)\) возможным представлением квантового информационного поля. Для ответа на этот вопрос оказывается достаточным рассмотреть классический предел в случае свободной нерелятивистской частицы. Мы проделаем выкладки в \(x-p\)-представлении гильбертова фазового пространства: $$ \begin{equation} H = {\hat{P}^2\over{2m}} = {(p-{i\hbar\over2}\partial_x)^2\over{2m}} \end{equation} $$

Уравнение Шрёдингера принимает вид: $$ \begin{equation} i\hbar{\partial\Psi(x,p,t)\over\partial t} = {1\over2m}\left(p^2 - i\hbar p\partial_x - {\hbar^2\over4}\partial_x^2\right)\Psi(x,p,t) \end{equation} $$

А также уравнение для сопряжённой функции: $$ \begin{equation} -i\hbar{\partial\Psi^*(x,p,t)\over\partial t} = {1\over2m}\left(p^2 + i\hbar p\partial_x - {\hbar^2\over4}\partial_x^2\right)\Psi^*(x,p,t) \end{equation} $$

Попытаемся получить уравнение, которому удовлетворяет функция Олаво \(F(x,p,t)\): $$ \begin{equation} i\hbar\partial_t F(x,p,t) = i\hbar\partial_t\Psi^*\Psi + i\hbar\Psi^*\partial_t\Psi = \Psi {1\over2m}\left(-p^2 - i\hbar p\partial_x + {\hbar^2\over4}\partial_x^2\right)\Psi^* + \Psi^*{1\over2m}\left( p^2 - i\hbar p\partial_x - {\hbar^2\over4}\partial_x^2\right)\Psi \end{equation} $$ $$ \begin{equation} i\hbar{\partial F(x,p,t)\over\partial t} = -{i\hbar p\over2m}{\partial F\over\partial x} + {\hbar^2\over8m}\left(\Psi\Psi^*_{xx} - \Psi^*\Psi_{xx}\right) \end{equation} $$

Последнее уравнение можно переписать в более компактной форме: $$ \begin{equation} {\partial F\over\partial t} + {p\over2m}{\partial F\over\partial x} = {\hbar\over4m}\Im(\Psi\Psi^*_{xx}) \end{equation} $$

Отсюда непосредственно видно, что классический предел \(\hbar\to0\) этого уравнения не совпадает с уравнение Лиувилля. Отличие составляет множитель \(1/2\) в скорости: $$ \begin{equation} {\partial F\over\partial t} + {p\over2m}{\partial F\over\partial x} = 0 \end{equation} $$

Этот результат очевидно соответствует хорошо известному факту, что фазовая скорость волны де-Бройля, соответствующей свободной нерелятивистской массивной частице равна \(V/2\), где \(V\) это скорость частицы.

Это означает, что классический предел функции Олаво отстаёт от настоящей классической функции распределения и, следовательно, эта функция (хотя и весьма интересная сама по себе, благодаря своей положительной определённости), к сожалению, не может рассматриваться в качестве кандидата представления квантового информационного поля.

\(x-\theta\) представление: функция Блохинцева \(B(x,\theta,t)\)

Иногда бывает удобно использовать другое представление, а именно то в котором операторы \(\hat{x}\) и \(\hat{\theta}\) принимают простую форму: $$ \begin{align} & \hat{x} = x\\ & \hat{p} = i\partial_\theta\\ & \hat{\theta} = \theta\\ & \hat{\lambda} = -i\partial_x\\ \end{align} $$

Основное уравнение принимает форму, найденную (в частном случае нерелятивистского гамильтониана) впервые Блохинцевым: $$ \begin{equation} i\hbar{\partial B\over\partial t} = \left\{H(x - {\hbar\over 2}\theta, i\partial_\theta - {i\hbar\over 2}\partial_x) - H(x + {\hbar\over 2}\theta, i\partial_\theta + {i\hbar\over 2}\partial_x)\right\}B(x,\theta,t) \label{BlokhintsevEq} \end{equation} $$

Зависимость гамильтониана от координаты может быть очень сложной, ибо она исходит из конкретной формы потенциальной энергии \(U(x)\), в то время, как зависимость его от импульса исходит из кинетической энергии \(T(p)\) и в нерелятивистском случае является квадратичной формой. В таком случае, \(x-\theta\) представление позволяет избавиться от псевдо-дифференциального уравнения в \(x-p\) представлении и, вместо него, иметь дело с уравнением в частных производных, что значительно проще.

Вообще говоря, нам придётся имет дело с обоим представлениям решая задачу Коши численно способом спектрально-расщепляющего пропагатора, так как в данном методе полный оператор эволюции во времени разлагается в композицию частей каждая из которых принимает более простую форму только в одном из представлений.

Связь между функцией Вигнера и Блохинцева осуществляется посредством Фурье-преобразования: $$ \begin{align} W(x,p,t) & = {1\over2\pi}\int B(x,\theta,t)e^{ip\theta}\,d\theta & \equiv \mathcal{F}_{\theta\rightarrow p}[B(x,\theta,t)]\\ B(x,\theta,t) & = \int W(x,p,t)e^{-ip\theta}\,dp & \equiv \mathcal{F}^{-1}_{p\rightarrow\theta}[W(x,p,t)] \end{align} $$

Спектральнo-расщепляющий пропагатор в общем случае

Очень часто гамильтониан \(H(x,p)\) представляется в виде суммы кинетической и потенциальной энергии: $$ \begin{equation} H(x,p) = T(p) + U(x) \end{equation} $$

Тогда формула (\ref{rhosol}) принимает вид: $$ \begin{equation} \rho(t) = \exp\left\{-{it\over\hbar}\left( T(\hat{p} + {\hbar\over 2}\hat{\lambda}) - T(\hat{p} - {\hbar\over 2}\hat{\lambda}) + U(\hat{x} - {\hbar\over 2}\hat{\theta}) - U(\hat{x} + {\hbar\over 2}\hat{\theta}) \right)\right\}\rho(0) \label{rhosolTU} \end{equation} $$

Формула (\ref{rhosolTU}) может быть преобразована к более компактной форме, вводя понятие квантового дифференциала (см. также \ref{qd}): $$ \begin{align} & \qd f(x,dx) \equiv {1\over i\hbar}\left(f(x+{i\hbar\over 2}dx) - f(x-{{i\hbar\over 2}}dx)\right)\\ & \rho(t) = \exp\left\{t\left(\qd T(\hat{p},-i\hat{\lambda}) + \qd U(\hat{x},i\hat{\theta})\right)\right\}\rho(0)\label{rhosolqd} \end{align} $$

Далее, предположим, что начальное состояние информационного поля \(\rho(0)\) задано в виде функции, зависящей от классических переменных \(x,p\) фазового пространства, т.е. функцией Вигнера \(W_0(x,p)\). Тогда, формула (\ref{rhosolqd}) принимает более конкретную форму: $$ \begin{equation} W(x,p,t) = \exp\left\{t\left(\qd T(\hat{p},-i\hat{\lambda}) + \qd U(\hat{x},i\hat{\theta})\right)\right\}W_0(x,p)\label{Wsolqd} \end{equation} $$

По формуле (\ref{Wsolqd}) можно построить вычислительную схему для расчёта значения \(W(x,p,t+\Delta t)\) по его значению в предыдущий момент времени \(W(x,p,t)\) (точнее, по его значениям во всех точках \(x,p\), а не только в данной!): $$ \begin{equation} W(x,p,t+\Delta t) \approx \exp\left\{\Delta t\left(\qd T(\hat{p},-i\hat{\lambda}) + \qd U(\hat{x},i\hat{\theta})\right)\right\}W(x,p,t)\label{Wsoldt} \end{equation} $$

Теперь у нас есть малый параметер \(\Delta t\), по которому можно разложить экспоненту, используя одну из апроксимаций: $$ \begin{align} &\exp\left\{\Delta t(\hat{A}+\hat{B})\right\} \approx \exp\left\{\Delta t\hat{A}\right\} \exp\left\{\Delta t\hat{B}\right\}\label{forder}\\ &\exp\left\{\Delta t(\hat{A}+\hat{B})\right\} \approx \exp\left\{\Delta t\hat{A}\over2\right\} \exp\left\{\Delta t\hat{B}\right\} \exp\left\{\Delta t\hat{A}\over2\right\}\label{sorder} \end{align} $$

Первое приближение (\ref{forder}) называется расщеплением Ли, а форма второго порядка (\ref{sorder}) известна под названием симметричного расщепления Странга. Ошибка в первом случае уменьшается линейно с уменьшением шага \(\Delta t\), а во втором случае квадратично, что делает последний более привлекательным для вычислений.

Локальная ошибка может быть легко вычислена для метода Ли: $$ \begin{align} & u' = Au + Bu, u_0 = u(0)\\ & u(t) = e^{t(A+B)}u_0\\ & u_{n+1} \approx e^{\Delta tA}e^{\Delta tB}u_n\\ & \Delta^{(1)}(h) \equiv u_1(h) - u(h) = \left(e^{hA}e^{hB} - e^{h(A+B)}\right)u_0 = {h^2\over2}[A,B]u_0 + O(h^3) \end{align} $$

Для расщепления второго порядка (Странг) получается более сложное выражение: $$ \begin{equation} \Delta^{(2)}(h) \equiv u_1(h) - u(h) = \left(e^{hA/2}e^{hB}e^{hA/2} - e^{h(A+B)}\right)u_0 = h^3\left({1\over12}[B,[B,A]]-{1\over24}[A,[A,B]]\right)u_0 + O(h^4) \end{equation} $$

Далее, введём два оператора \(\tilde{T}(\hat{p},\hat{\lambda},\Delta t)\) и \(\tilde{U}(\hat{x},\hat{\theta},\Delta t)\) следующим образом: $$ \begin{align} & \tilde{T}(\hat{p},\hat{\lambda},\Delta t) \equiv \exp\left\{\Delta t\qd T(\hat{p},-i\hat{\lambda})\right\}\label{tildeT}\\ & \tilde{U}(\hat{x},\hat{\theta},\Delta t) \equiv \exp\left\{\Delta t\qd U(\hat{x},i\hat{\theta})\right\}\label{tildeU} \end{align} $$

Теперь мы можем использовать, например, приближение первого порядка и переписать формулу (\ref{Wsoldt}) в следующей форме: $$ \begin{equation} W(x,p,t+\Delta t) \approx \tilde{T}(\hat{p},\hat{\lambda},\Delta t)\tilde{U}(\hat{x},\hat{\theta},\Delta t)W(x,p,t)\label{Wsoldt2} \end{equation} $$

Чтобы упростить действие оператора \(\tilde{U}(\hat{x},\hat{\theta},\Delta t)\) нам следует перейти от изначального представления \(x-p\) к представлению Блохинцева \(x-\theta\) с помощью Фурье-преобразования: $$ \begin{equation} W(x,p,t+\Delta t) \approx \tilde{T}(\hat{p},\hat{\lambda},\Delta t) \mathcal{F}_{\theta\rightarrow p} \tilde{U}(x,\theta,\Delta t)\mathcal{F}^{-1}_{p\rightarrow\theta}W(x,p,t)\label{Wsoldt3} \end{equation} $$

Заметим, что шляпки над операторами \(\hat{x}\) and \(\hat{\theta}\) в \(\tilde{U}(\hat{x},\hat{\theta},\Delta t)\) исчезли, ибо в \(x-\theta\) представлении действие этих операторов сводится к умножения на числа \(x\) и \(\theta\) соответственно.

Тоже самое можно сделать и для упрощения действия оператора \(\tilde{T}(\hat{p},\hat{\lambda},\Delta t)\), временно переходя в представление \(p-\lambda\): $$ \begin{equation} W(x,p,t+\Delta t) \approx \mathcal{F}_{\lambda\rightarrow x} \tilde{T}(p,\lambda,\Delta t) \mathcal{F}^{-1}_{x\rightarrow\lambda} \mathcal{F}_{\theta\rightarrow p} \tilde{U}(x,\theta,\Delta t)\mathcal{F}^{-1}_{p\rightarrow\theta}W(x,p,t)\label{Wsoldt4} \end{equation} $$

Формула (\ref{Wsoldt4}) уже в форме, которую можно использовать на компьютере, ибо она содержит только величины, которые можно непосредственно подсчитать. Тем не менее, перешием её в терминах экспоненциальных членов, чтобы сделать всю процедуру более явной: $$ \begin{equation} W(x,p,t+\Delta t) \approx \mathcal{F}_{\lambda\rightarrow x} \exp\left\{\Delta t\qd T(p,-i\lambda)\right\} \mathcal{F}^{-1}_{x\rightarrow\lambda} \mathcal{F}_{\theta\rightarrow p} \exp\left\{\Delta t\qd U(x,i\theta)\right\} \mathcal{F}^{-1}_{p\rightarrow\theta}W(x,p,t)\label{Wsoldt5} \end{equation} $$

Точно таким же образом, опираясь на разложение второго порядка (\ref{sorder}), можно построить вычислительную схему намного более точную, чем (\ref{Wsoldt5}): $$ \begin{equation} W(x,p,t+\Delta t) \approx \mathcal{F}_{\lambda\rightarrow x} \exp\left\{{\Delta t\over2}\qd T(p,-i\lambda)\right\} \mathcal{F}_{\theta\rightarrow p} \mathcal{F}^{-1}_{x\rightarrow\lambda} \exp\left\{\Delta t\qd U(x,i\theta)\right\} \mathcal{F}^{-1}_{p\rightarrow\theta} \mathcal{F}_{\lambda\rightarrow x} \exp\left\{{\Delta t\over2}\qd T(p,-i\lambda)\right\} \mathcal{F}^{-1}_{x\rightarrow\lambda}W(x,p,t)\label{Wsoldt6} \end{equation} $$

Извлечение энергии из пространства

Случай чистого состояния \(\psi(x,t)\)

Может ли измениться энергия частицы, временная эволюция которой описывается унитарным оператором, порождённым из эрмитова стационарного гамильтониана? Иными словами, может ли энергия чистого состояния меняться со временем? Ответ на этот вопрос отрицательный и это хорошо известно из любого учебника квантовой механики, но мы всё же приведём здесь необходимые выкладки для полноты: $$ \begin{align} & \hat{H}\varphi_n = E_n\varphi, (\varphi_n, \varphi_m) = \delta_{nm},\\ & \psi_0(x) = \sum\limits_n (\varphi_n, \psi_0)\\ & i\hbar{\partial\psi\over\partial t} = \hat{H}\psi\\ & \psi(x,t) = \sum\limits_n (\varphi_n,\psi_0) e^{-i {E_n t\over\hbar}}\varphi_n(x) \end{align} $$

Подсчитаем энергию \(E\) в состоянии \(\psi(x,t)\) (то, что ортодоксы называют "средним значением" или "математическим ожиданием" энергии в этом состоянии): $$ \begin{equation} E = (\psi, \hat{H}\psi) = \int \psi^*\hat{H}\psi\,dx = \int\,dx \sum\limits_{m,n}(\psi_0,\varphi_m)(\varphi_n,\psi_0)e^{i(E_m-E_n)t\over\hbar} \varphi_m^* \varphi_n E_n = \sum\limits_n E_n |(\varphi_n,\psi_0)|^2 = const \end{equation} $$

Случай смешанного состояния \(W(x,p,t)\)

А теперь попытаемся ответить на тот же вопрос для смешанного состояния, вычисляя энергию информационного поля в \(x-p\) представлении: $$ \begin{equation} E_G(t) = \int\limits_{g^t(G)} H(x,p,t) W(x,p,t)\,dx\,dp, \end{equation} $$

где \(g^t\) классический фазовый поток соответствующий рассматриваемой квантовой системе. Использую транспортную теорему преобразуем интеграл по движущейся области в интеграл по неподвижной, продифференцируем по времени и затем вернёмся обратно к интегрированию по движущейся области, (опуская несложные вычисления) получаем для скорости изменения энергии со временем: $$ \begin{equation} \dot{E}_G(t) = \int\limits_{g^t(G)} \left\{W\partial_t H + H(\partial_t W + \{W,H\})\right\}\,dx\,dp = \overline{\partial_t H} + \int\limits_{g^t(G)} H\left([H,W] - \{H,W\})\right)\,dx\,dp \end{equation} $$

Предположим, что гамильтониан не зависит явно от времени (\(\partial_t H \equiv 0\)) и разлагается в сумму кинетического и потенциального членов ((\(H(x,p) = T(p) + U(x)\)). Случай нестационарного гамильтониана, как увидим в дальнейшем, соответствует диссипативным системам и будет рассмотрен отдельно (см. недавнюю статью Кирка Т. МакДональда).

Квантовые скобки вычисляем по формуле Боппа: $$ \begin{equation} [H,W] = {1\over{i\hbar}} \left(T(p-{i\hbar\over 2}\partial_x) - T(p+{i\hbar\over 2}\partial_x) + U(x+{i\hbar\over 2}\partial_p) - U(x-{i\hbar\over 2}\partial_p)\right)W \end{equation} $$

Прежде, чем мы напишем окончательную формулу для \(\dot{E}_G(t)\), введём следующие два новых понятия: а) квантовый дифференциал \(\qd f(x,dx)\) функции \(f(x)\) в точке \(x\) на приращении \(dx\) и б) квантовое приращение дифференциала \(\qc f(x,dx)\): $$ \begin{align} & \qd f(x,dx) \equiv {1\over i\hbar}\left(f(x+{i\hbar\over 2}dx) - f(x-{{i\hbar\over 2}}dx)\right)\label{qd}\\ & \qc f(x,dx) \equiv \qd f(x,dx) - df(x,dx)\label{qc} \end{align} $$

здесь \(df(x,dx)\) есть классический дифференциал (\(df(x,dx)\equiv f'(x)\,dx\)). Геометрический смысл квантового дифференциала такой: при вычислении классического дифференциала мы сравниваем значения функции "по горизонтали", т.е. вдоль оси \(x\) на которой эта функция определена, а при вычислении квантового дифференциала, мы сначала аналитически продолжаем функцию на всю комплексную область \(\{(x,y)\}\) и затем сравниваем значения функции "по вертикали", т.е. над и под интересующей нас точкой.

Очевидно, в пределе \(\hbar\rightarrow 0\) квантовый дифференциал совпадает с классическим: $$ \begin{align} & \lim_{\hbar\rightarrow 0}\qd f(x,dx) = df(x,dx)\\ & \lim_{\hbar\rightarrow 0}\qc f(x,dx) = 0 \end{align} $$

Далее, заметим, что для постоянной, линейной и квадратичной функций, квантовый дифференциал совпадает с классическим и, следовательно, квантовая коррекция отсутствует. Но, уже для кубических полиномов и других нелинейных функций, квантовый дифференциал может существенно отличаться от классического и вызывать разные весьма любопытные эффекты, как будет видно из дальнейшего.

Теперь мы можем наконец записать формулу для энергии извлечённой из пространства за единицу времени, выраженной через квантовые коррекции дифференциалов кинетической и потенциальной энергии на операторно-значных приращениях. $$ \begin{equation} \dot{E}_G(t) = \int\limits_{g^t(G)}(T(p)+U(x))(\qc T(p,-\partial_x) + \qc U(x,\partial_p))W(x,p,t)\,dx\,dp\label{dotE} \end{equation} $$

В случае нерелятивистского гамильтониана \(H(x,p)=p^2/2m + U(x)\) формула (\ref{dotE}) принимает вид: $$ \begin{equation} \dot{E}_G(t) = \int\limits_{g^t(G)}\left({p^2\over{2m}}+U(x)\right)\qc U(x,\partial_p)W(x,p,t)\,dx\,dp\label{dotEnonrel} \end{equation} $$

В самом простейшем случае свободной (релятивистской) частицы \(U(x)\equiv 0\) энергия вычисленная по всему фазовому пространству \(G = \mathcal{P} \Rightarrow g^t(G) = G\) сохраняется: $$ \begin{equation} \dot{T}_G(t) = \int T(p)\qc T(p,-\partial_x)W(x,p,t)\,dx\,dp = 0 \end{equation} $$

Для не-релятивистского случая кинетическая энергия \(T(p)={p^2\over{2m}}\) и, следовательно, \(\dot{T}_G(t)\equiv 0\), ибо, как мы уже сказали, квантовая коррекция дифференциала полинома степени ниже 3 равна нулю.

Для релятивистского случая доказательство нетривильно и мы представим его здесь для иллюстрации удобства выбора правильного представления в гильбертовом фазовом пространстве. В данном случае удобно перейти от \(x-p\) к \(\lambda-p\) представлению, где \(\hat{\lambda}=\lambda, \hat{p} = p, \hat{x}=i\partial_{\lambda}, \hat{\theta} = -i\partial_p\) и уравнение фон Неймана для матрицы плотности (основное уравнение квантовой инфодинамики (КИД)) принимает форму: $$ \begin{equation} i\hbar{\partial Z\over\partial t} = \left[T(p+{\hbar\over2}\lambda) - T(p-{\hbar\over2}\lambda)\right]Z(\lambda,p,t) \end{equation} $$

Его общее решение в форме Коши может быть записано явно: $$ \begin{equation} Z(\lambda,p,t) = \exp\left\{-{i t\over\hbar}\left[T(p+{\hbar\over2}\lambda) - T(p-{\hbar\over2}\lambda)\right]\right\}Z_0(\lambda,p)\label{Zsol} \end{equation} $$

Далее, полная энергия даётся интегралом по всему фазовому пространству, который мы преобразуем в \(\lambda-p\) представление: $$ \begin{equation} E(t) = \int T(p) W(x,p,t)\,dx\,dp = {1\over2\pi}\int T(p)e^{ix\lambda} Z(\lambda,p,t)\,dx\,dp\,d\lambda \end{equation} $$

Далее, используя известную формулу \(\int e^{ix\lambda}\,dx = 2\pi\delta(\lambda)\) и интегрируя по \(\lambda\) имеем: $$ \begin{equation} E(t) = \int T(p) Z(0,p,t)\,dp\label{EZ1} \end{equation} $$

Подставив \(Z(0,p,t)\), полученное из (\ref{Zsol}) в (\ref{EZ1}), получаем окончательный результат: $$ \begin{equation} E(t) = \int T(p) Z_0(0,p)\,dp = E(0) = const \end{equation} $$

Далее, для случая бесконечной области, охватывающей всё фазовое пространство \(G=\mathcal{P}\) и не-релятивиствкого гамильтониана имеются причины (см. Zachos et al. "Quantum Mechanics in Phase Space", 2005, и ссылки там) предполагать, что выражение (\ref{dotE}) тоже, вероятнее всего, окажется равно нулю. Однако, если оба эти предположения отбросить, то оказывается, что оно в принципе может принимать не-нулевые значения.

Попробуем провести аналогичное доказательство в общем случае (несвободной) частицы с гамильтонианом в форме: $$ \begin{equation} H(x,p) = T(p) + U(x) \end{equation} $$

Выражение для полной энергии аналогично (\ref{EZ1}), но, дополнительно, содержит вклад от потенциальной энергии: $$ \begin{equation} E(t) = \int (T(p) + U(x)) W(x,p,t)\,dx\,dp = \int T(p) Z(0,p,t)\,dp + \int U(x) B(x,0,t)\,dx\label{Et} \end{equation} $$

где \(B(x,\theta,t)\) это функция Блохинцева, т.е. информационное поле в \(x-\theta\) представлении.

Сама форма правой части формулы (\ref{Et}) весьма поучительна, ибо она показывает, что, с одной стороны, чтобы получить значение полной энергии в \(x-p\) представлении, нам необходимо проинтегрировать по всему фазовому пространству классических координат \(x\) и импульсов \(p\). Однако, с другой стороны, представив энергию в виде суммы интегралов по \(\lambda-p\) и \(x-\theta\) пространствам, мы видим, что вклад дают только те точки, в которых "квантовые поправки" равны нулю, т.е. точки с \(\lambda=0\) and \(\theta=0\). Это намёк на то, что при учёте реальности пространства сама концепция энергии должна быть переопределена таким образом, чтобы вклад от существенно не-классических точек где \(\lambda\neq0\) и \(\theta\neq0\) также учитывался.

Запишем основное уравнение в общей форме: $$ \begin{equation} i\hbar{\partial\rho\over\partial t} = \left[H(\hat{x}-{\hbar\over2}\hat{\theta}, \hat{p} + {\hbar\over2}\hat{\lambda}) - H(\hat{x}+{\hbar\over2}\hat{\theta}, \hat{p} - {\hbar\over2}\hat{\lambda})\right]\label{MEQ} \end{equation} $$

В \(\lambda-p\) представлении оно превращается в уравнение для двух-импульсной функции распределния \(Z(\lambda,p,t)\): $$ \begin{equation} i\hbar{\partial Z\over\partial t} = \left[T(p+{\hbar\over2}\lambda) - T(p-{\hbar\over2}\lambda) + U(i\partial_{\lambda} + {i\hbar\over2}\partial_p) - U(i\partial_{\lambda} - {i\hbar\over2}\partial_p) \right] Z(\lambda,p,t) \end{equation} $$

Формально, можно написать общее решение в форме Коши используя операторно-значную экспоненту: $$ \begin{equation} Z(\lambda,p,t) = \exp\left\{-{i t\over\hbar}\left[ T(p+{\hbar\over2}\lambda) - T(p-{\hbar\over2}\lambda) + U(i\partial_{\lambda} + {i\hbar\over2}\partial_p) - U(i\partial_{\lambda} - {i\hbar\over2}\partial_p) \right]\right\}Z_0(\lambda,p)\label{Zsol2} \end{equation} $$

Отсюда видно, что из-за члена содержащего потенциальную энергию \(U(x)\), теперь \(Z(0,p,t)\) может явно зависить от времени: $$ \begin{equation} Z(0,p,t) = \exp\left\{-{i t\over\hbar}\left[ U(i\partial_{\lambda} + {i\hbar\over2}\partial_p) - U(i\partial_{\lambda} - {i\hbar\over2}\partial_p) \right]\right\}Z_0(\lambda,p)|_{\lambda=0}\label{Z0pt} \end{equation} $$

Теперь вернёмся к уравнению для функции Блохинцева, которое получаем из общего уравнения (\ref{MEQ}) переходом к \(x-\theta\) представлению, где \(\hat{x}=x, \hat{\theta} = \theta, \hat{\lambda} = -i\partial_x, \hat{p} = i\partial_\theta\): $$ \begin{equation} i\hbar{\partial B\over\partial t} = \left[ T(i\partial_\theta - {i\hbar\over2}\partial_x) - T(i\partial_\theta + {i\hbar\over2}\partial_x)+ U(x-{\hbar\over2}\theta) - U(x+{\hbar\over2}\theta) \right] B(x,\theta,t) \end{equation} $$

Его общее решение в форме Коши аналогично (\ref{Zsol2}): $$ \begin{equation} B(x,\theta,t) = \exp\left\{-{it\over\hbar}\left[ T(i\partial_\theta - {i\hbar\over2}\partial_x) - T(i\partial_\theta + {i\hbar\over2}\partial_x)+ U(x-{\hbar\over2}\theta) - U(x+{\hbar\over2}\theta) \right]\right\}B_0(x,\theta) \end{equation} $$

И опять мы видим, что значение решения в точке \(\theta=0\) может зависеть от времени явно: $$ \begin{equation} B(x,0,t) = \exp\left\{-{it\over\hbar}\left[ T(i\partial_\theta - {i\hbar\over2}\partial_x) - T(i\partial_\theta + {i\hbar\over2}\partial_x) \right]\right\}B_0(x,\theta)|_{\theta=0} \end{equation} $$

Этот факт, вместе с формулой (\ref{Et}) означает, что полная энергия \(E(t)\), даже подсчитання для всего фазового пространства \(\mathcal{P}\) вообще говоря не сохраняется, т.е. закон сохранения энергии не имеет место, когда реальность пространства учтена полностью, а под энергией понимается величина, полученная без учёта реального пространства.

Почему физики не заметили этого раньше? Потому что ортодоксы обычно либо вообще не рассматривают формализм функций Вигнера, либо рассматривают только такие функции Вигнера, которые связаны с чистым состоянием, т.е. имеющие хорошо известную \(\psi\)-автокорелляционную форму: $$ \begin{equation} W(x,p,t) = {1\over2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}e^{-iyp}\psi^*(x-{\hbar\over2}y,t)\psi(x+{\hbar\over2}y,t)\,dy \label{Wpure} \end{equation} $$

Отображение Вейля неминуемо требует, чтобы для функции Вигнера \(W(x,p,t)\) имеющей форму (\ref{Wpure}), выражение (\ref{dotE}) всегда равнялось нулю. Следовательно, представляется существенным рассмотрение именно смешанных состояний.

Пожалуй, будет полезным напомнить определение матрицы плотности в \(x-x'\) представлении (см. любой учебник по квантовой механике, например Ландау-Лифшиц, т.3): $$ \begin{equation} \rho(x,x',t) = \int \Psi^*(x',q,t)\Psi(x,q,t)\,dq \end{equation} $$

здесь \(\Psi(x,q,t)\) есть неизвестная (а возможно даже в принципе непознаваемая) волновая функция полной системы "частица + пространство". Переменные \(q\) здесь обозначают неизвестные степени свободы пространства. Каким динамическим ограничениям или законам они подчиняются (т.е. внутренняя динамика пространства) нам неизвестно. Тем не менее, интегрируя по ним, влияние пространства остаётся закодированным в форме функции \(\rho(x,x',t)\) и этот уровень вполне поддаётся исследованию на нашем, конечном, уровне реальности.

Лишь в тривиальном случае, когда полная волновая функция факторизуется в произведение чисто материальной и чисто пространственной волновых функций (аналогично тому, как и в приближении Борна-Оппенгеймера при разложении на ядерную и электронную волновые функции) имеем: $$ \begin{equation} \Psi(x,q,t) = \psi_{matter}(x,t)\psi_{space}(q,t) \end{equation} $$

результирующая матрица плотности тоже примет тривиальную форму \(\rho(x,x',t) = \psi_{matter}^*(x',t)\psi_{matter}(x,t)\) и никаких интересных эффектов, связанных с влиянием реальности пространства не будет. Но в общем случае (т.е. смешанного состояния) подобной факторизации нет и мы ожидаем (и получаем) не-тривиальные эффекты связанные взаимодействием со средой, которой, в данном случае является вездесущее пространство.

Более того, как показывают численные эксперименты, можно достичь локального роста энергии за счёт синтропии, т.е. в режиме само-организации на уровне пространственных потенциалов, т.е. в областях, где информационное поле принимает отрицательные значения (этих областей физики-ортодоксы боятся как огня, ибо они придерживаются вероятностной интерпретации волновой функции и, следовательно, псевдо-вероятностной интерпретации функции Вигнера). Как видно из следующего видео, полная энергия фотона увеличилась по сравнению с начальным значением 0.100 до значения 0.116 "на бесконечности", т.е. мы наблюдаем 16% прирост энергии.

Отметим напоследок, что фундаментальная разница между состоянием смешанным (функция Вигнера) и чистым (волновая функция) возникает благодаря взаимодействию с вездесущей "средой", а именно пространством. Именно благодаря этому взаимодействию даже свободная частица может получить (или потерять) энергию в первом, но не во втором случае. Пространство несомненно влияет определённым образом и на динамику чистых состояний, но это влияние таково, что не приводит к изменению энергии.

Свободная квантовая релятивистская частица в одном измерении

В данном случае гамильтониан состоит из одной лишь кинетической энергии (с учётом энергии покоя): $$ \begin{equation} H(x,p) = T(p) = c \sqrt{p^2 + m^2 c^2} \end{equation} $$

Уравнение для информационного поля принимает следующую упрощённую форму: $$ \begin{equation} i\hbar{\partial\rho\over\partial t} = \left[T(\hat{p}+{\hbar\over2}\hat{\lambda}) - T(\hat{p}-{\hbar\over2}\hat{\lambda})\right]\rho \end{equation} $$

Нетрудно записать формально его общее решение в форме Коши: $$ \begin{equation} \rho(t) = \exp\left\{-{it\over\hbar}\left[T(\hat{p}+{\hbar\over2}\hat{\lambda}) - T(\hat{p}-{\hbar\over2}\hat{\lambda})\right]\right\}\rho(0) \label{rhosolT} \end{equation} $$

Как и прежде, представим начальное состояние в виде функции \(W_0(x,p)\) определённой на классическом фазовом пространстве, т.е. в \(x-p\) представлении. Для вычисления операторно-значной экспоненты в (\ref{rhosolT}), нам необходимо пройти через одно пространство фурье-образов: $$ \begin{equation} (x-p)\overset{\mathcal{F}_{x\rightarrow\lambda}^{-1}}{\mapsto}(\lambda-p)\overset{\mathcal{F}_{\lambda\rightarrow x}}{\mapsto}(x-p) \end{equation} $$

Эта процедура позволяет нам записать явную форму информационного поля в \(x-p\) представлении (т.е. функции Вигнера): "Wigner Function", as was mentioned already): $$ \begin{equation} W(x,p,t) = \mathcal{F}_{\lambda\rightarrow x} \exp\left\{-{it\over\hbar}\left[T(p+{\hbar\over2}\lambda) - T(p-{\hbar\over2}\lambda)\right]\right\} \mathcal{F}_{x\rightarrow\lambda}^{-1}[W_0(x,p)]\label{Wsol} \end{equation} $$

Заметим, что в отличие от (\ref{rhosolT}), в (\ref{Wsol}) уже нет шляпок над операторами \(p\) and \(\lambda\), ибо они свелись к простому умножению на числа. Воистину велика мощь спектрального анализа: он позволяет перейти от дифференциальных операторов к обычному умножению. Это простейшая иллюстрация "спектрально-расщепляющего пропагатора", который в данном случае даже не требует ничего "расщеплять" в экспоненте, ибо оба оператора \(\hat{p}\) and \(\hat{\lambda}\) были приведены к мультипликативной форме одновременно. (Если бы присутствовал член \(U(x)\), соответствующий потенциальной энергии, то, как мы уже видели выше, было бы невозможно сделать такое упрощение одновременно для всех четырёх операторов \(\hat{x},\hat{p},\hat{\theta},\hat{\lambda}\) и пришлось бы "расщепить" экспоненту от суммы в произведение экспонент, в котором каждый сомножитель содержал бы по паре операторов.)

Итак, у нас есть удобная и конкретная формула, которую можно превратить в вычислительный алгоритм для симуляции на компьютере: $$ \begin{equation} W(x,p,t) = \mathcal{F}_{\lambda\rightarrow x} \exp\left\{-{ict\over\hbar}\left[\sqrt{(p+{\hbar\over2}\lambda)^2+m^2c^2} - \sqrt{(p-{\hbar\over2}\lambda)^2+m^2c^2}\right]\right\} \mathcal{F}_{x\rightarrow\lambda}^{-1}[W_0(x,p)] \end{equation} $$

Операторы \(\mathcal{F}_{\lambda\rightarrow x}\) and \(\mathcal{F}_{x\rightarrow\lambda}^{-1}\) могуть быть вычислены используя алгоритм FFT (Дискретное Быстрое Фурье-преобразование), реализованный либо на C или языке Python.

К сожалению, при числе пространственных измерений больше единицы (т.е. числе измерений фазового пространства больше двух), приходится использовать неравномерные сетки с адаптивным учащением (AMR), но эти методы пока не существуют для спектрально-расщепляющих пропагаторов. Поэтому, я в данный момент занимаюсь обобщением соответствующих численных методов на эту область. Это обобщение можно будет использовать для симуляции не только реалистичных 3-мерных (т.е. 6-мерных в фазовом пространстве) реальных объектов, но и 5-мерных в рамках теорий типа Калуцы-Клейна, что особенно интересно, ибо представляет собой возможность симуляции процессов с изменением электрического заряда и собственной массы.

Классический туннельный эффект

Ультиматон в покое

Два фотона

В этой анимации мы видим, что впереди и позади фотона бегут "пространственные навигаторы" — они видны в виде синих гребней. На графиках всё, что обозначено синим цветом соответствует не-материальным (т.е. непосредственно неизмеримым нашими приборами) потенциалам пространства, а красным обозначена материя-энергия в принципе детектируемая нашими приборами.

Интерпретация квантовой инфодинамики

В настоящее время (сентябрь 2017 г.) развитие квантовой инфодинамики зашло в тупик. С одной стороны, её область применимости значительно шире области применимости квантовой механики, т.к. последняя ограничена уравнением Шрёдингера. С другой стороны, в теории отсутствует понимание физического смысла основного объекта, т.е. того, что мы называем информационным полем или информационной волной. Это в точности соответствует отсутствию понимания физического смысла волновой функции в обычной (копенгагенской) интерпретации квантовой механики. Однако бедность предсказательной способности квантовой механики компенсирует полное отсутствие понимания её смысла. Физики утешают себя возможностью вычисления лишь вероятностей тех или иных результатов эксперимента, не задавая вопроса "Что же происходит в квантовых системах на самом деле?" После V Солвеевского конгресса 1927 г. и "государственного переворота", совершённого Бором и Гейзенбергом (см. прекрасную книгу Ж. Лошака "Принц в науке" в 1-м томе "Избранных трудов" Л. де Бройля), наука отвергла творческий путь развития и превратилась в технологическую служанку инженеров и промышленников, которая только и делает, что топчется на месте (с огромными затратами для ничего не подозревающих налогоплательщиков), но уже давно не в состоянии открыть ничего нового. Не мудрено, что творческий путь забыт в науке, если те, кто "делают науку" лишили себя способности творчески мыслить. Действительно, с 1930-х гг. в физике не было сделано ни одного фундаментального открытия.

Итак, следует признать, что квантовая инфодинамика, точно так же как и квантовая механика, лишена какой-либо разумной интерпретации. Однако, в отличие от квантовой механики, в квантовой инфодинамике вполне позволительно задавать вопросы о том, что происходит в системе "на самом деле" и расчитывать не только вероятности тех или иных стационарных состояний, но и динамические детали эволюции системы с учётом реальности пространства, в духе того, что объяснял по этому поводу Иисус и другие в Урантийских документах. Даже понятие энергии уже не может быть определено тем простым образом, как это делается в квантовой механике, ибо таким образом определённая "энергия" уже не будет сохраняться, из-за реакции пространства на движение.

Так возникла идея необходимости поиска смысла информационного поля и стало ясно, что пока этот вопрос не будет удовлетворительно решён, нецелесообразно продолжать моделирование конкретных систем, в силу невозможности или, по крайней мере, неоднозначности интерпретации полученных результатов.

Где же искать смысл квантовой инфодинамики, если не у истоков квантовой механики? Дело в том, что до копенгагенского "произвола", развитие квантовой механики шло по обычному в физике творческому пути, которому противно догматическое само-ограничение и отказ от права задавать какие-либо вопросы, как это ныне принято догмами копенгагенской интерпретации. Тогда она более правильно называлась "волновой механикой" и, благодаря работам её двух создателей, стало ясно, что она относится к "старой", ньютоновской механике так же как волновая теория света относится к геометрической оптике. Никто тогда не оспаривал, что этими двумя создателями были Луи де Бройль, заложивший концептуальные основы и Эрвин Шрёдингер, нашедший основное уравнение, носящее ныне его имя.

Этот путь, после детального изучения фундаментальных работ де Бройля, привёл к идее об идентификации концепции так называемой "волны де Бройля" и "информационного поля" квантовой инфодинамики.

Значение и применение идей де Бройля

Хотя Луи де Бройль и получил нобелевскую премию за предсказание дифракции электронов, истинное значение его идей было непонято и сами идеи полностью забыты. Это был не просто "великий физик", но "физик космического масштаба", творивший под девизом "Для будущего!" — девизом своего удивительного аристократического рода с 17-го века.

В статье 1923 г. "Волны и кванты" Луи де Бройль предложил ассоциировать "фиктивную волну" с движущейся материальной точкой. Скорость этой волны превышала скорость света: $$ \begin{equation} V = c/\beta = c^2/v \end{equation} $$

В статье 1925 г. "О собственной частоте электрона" де Бройль доказывает, что если потребовать, чтобы эта волна, с точки зрения неподвижного наблюдателя (относительно которого частица движется со скоростью \(v\)) удовлетворяла обычному волновому уравнению для электромагнитных волн (распространяющихся со скоростью света \(c\)), то её можно представить в виде суперпозиции двух сферических волн: а) расходящейся от частицы на бесконечность и б) сходящейся к частице из бесконечности. Последнюю можно тоже рассматривать как расходящуюся, но только в обратном времени, т.е. из будущего к прошлому. Принимая во внимание нашу идентификацию волны де Бройля с информационным полем и вспоминая идею Сергея Литвинова, согласно которой информационное поле должно быть как-то связано с некоей "функциональной фазой" контура разума, сфокусированного на Бесконечном Духе, который как мы знаем является спонсором всякого движения, получаем два интересных вывода:

  1. Информационная волна-навигатор состоит из света. ("Бог есть свет и нет в нём тьмы")
  2. Навигатор или "спонсор" всякого движения опирается в равной мере на оба вида причинности: из прошлого в будущее и из будущего в прошлое.

Библиография

  1. Ed. C.K. Zachos, D.B. Fairlie, T.L. Curtright, "Quantum Mechanics in Phase Space: An Overview with Selected Papers", World Scientific 2005
  2. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика, т.3 "Квантовая механика, нерелятивистская теория", Москва 1989
  3. T. Aivazian, "Extended Hilbert Phase Space and Dissipative Quantum Systems", 2017 PDF, arXiv
  4. Renan Cabrera, Denys Bondar, Kurt Jacobs, Herschel A. Rabitz, "Efficient method to generate time evolution of the Wigner function for open quantum systems", 2015 arXiv
  5. L.S.F. Olavo, "Quantum Mechanics as a Classical Theory XVI, 2008 arXiv
  6. Д.И. Блохинцев, "Пространство и время в микромире", Москва 1982
  7. Д.И. Блохинцев, "Принципиальные вопросы квантовой механики", Москва 1987 (2-е изд.)
  8. A. Cohn, M. Rabinowitz, "Classical Tunneling"
  9. Kirk T. McDonald, "A Damped Oscillator as a Hamiltonian System", Joseph Henry Laboratories, Princeton University, 2015
  10. Emmanuel Saucedo-Flores, Ruben Ruelas, Victor Manuel Rangel Cobian, "Particle in a Finite Dual Well Potential System: A Simple Quantum Model for Well Super-Localization and Ultra-Dispersion Duality Effect An Alternative Model for the Hydrogen Atom", ResearchGate
  11. Н.А. Козырев, "Избранные труды", ЛГУ 1991
  12. В.Ф. Золотарёв, Б.Б. Шамшев, "Структура и свойства среды физического вакуума", Известия вузов МВ и ССО СССР, 1985
  13. Л.С. Шихобалов, "Причинная механика Н.А. Козырева: Анализ основ", в книге "Избранные труды Н.А. Козырева", ЛГУ 1991

Программы для решения задач квантовой инфодинамики

Все программы, использованные для компьютерных симуляций квантовой инфодинамики доступны по GNU лицензии на моей github quantum-infodynamics репозитории. Основные программы это solve.py, solanim.py и solplay.py. Когда-нибудь я напишу для них документацию, а пока смотрите скрипты в директории "bin", чтобы понять как ими управлять.

Основной "решатель" solve.py использует метод спектрально-расщепляющего пропагатора второго порядка, описанный в недавней статье Кабрера и др. Использована сетка в фазовом пространстве \(x-p\) фиксированного размера (как указано в командной строке), но эволюция во времени контроллируется адаптивным изменением шага для поддержания заданного значения абсолютной погрешности ("-tol" параметр).

Программа solanim.py создаёт кадры для дальнейшего превращения их в анимацию (используя ffmpeg, см. bin/harmonic-oscillator.sh). Начальными данными для неё является решение сгенерированное программой-решателем solve.py.

Программа solplay.py аналогична программе solanim.py, но вместо генерации кадров она показывает их сразу на экрану. Эта программа может быть использована для предварительного просмотра результатов, пока программа solanim.py работает над генерацией анимации.

В настоящий момент я проектирую более общую инфраструктуру "Исследователь квантовой инфодинамики" которая позволит исследовать динамические системы не требуя огромных пространств на диске и в оперативной памяти. А при обнаружении "интересных" феноменов во время таких (возможно длящихся дни и недели) симуляций, программа предоставит возможность сохранить состояние, чтобы далее детально исследовать его используя обычную утилиту solve.py, которая сохраняет решение на диск.

Контакты

Вы можете связаться с автором сайта следующим образом:

  1. Форум квантовой инфодинамики
  2. Эл. почта: aivazian.tigran@gmail.com
  3. Скайп: tigran.aivazian